MATEMÁTICA & CIA

quinta-feira, 13 de setembro de 2012

GEOGEBRA

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html

GeoGebra

Software de Matemática Dinâmica Gratuito





Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo. Por um lado, o GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro lado, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.
GeoGebra    

segunda-feira, 30 de julho de 2012

O que são números imaginários?


          O que são números imaginários e para que são usados?
          Os números imaginários ou complexos são uma das tantas abstrações matemáticas que facilitam o cálculo e a resolução de muitos problemas. Em vários campos científicos e técnicos são utilizados durante o desenrolar de um problema e quando se querem extrair dados concretos para aplicar na realidade, quando se transpõe o resultado em número complexo para o resultado em número real, que é o que podemos "medir" (não podemos medir com um instrumento físico um número complexo).
          Na realidade, todo número complexo está composto de duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. Quando queremos extrair um resultado para aplicá-lo a nossas medições no mundo físico, usamos só a parte real do número complexo. Com tudo isto, podemos ver que os números complexos constituem uma estrutura algébrica que engloba a estrutura dos números reais.
          Se entrarmos em detalhes algébricos, sabemos que existem várias classes de números, que de forma muito simples podemos descrever como:
Os números naturais. São eles 1,2,3,4, etc..., onde cada um é obtido somando uma unidade à anterior.
Os números inteiros. Incluem números inteiros positivos e números inteiros negativos: -1, -2, -3, etc...
Os números negativos. Foram introduzidos na Idade Média para poder resolver problemas como 3 - 5.
          Antigamente, parecia impossível retirar cinco maças de três maçãs, mas os banqueiros medievais tinham uma idéia muito clara de dívida: "você me pede cinco maças e depois me paga três, de forma que fica me devendo duas", que é como dizer (+3) - (+5).
Os números racionais São razões entre números inteiros: 3/4, -2/5, etc...
Números irracionais São todos aqueles números que não podemos expressar como frações entre números inteiros, como por exemplo o número "pi" (3,141592...). Em contrapartida podemos por como fração o número 0,25, que seria 1/4.
Números reais.Incluem os números racionais e irracionais.
          O próximo passo nesta escala seria o dos números complexos. Uma das formas matemáticas na qual se expressa um número imaginário é na fórmula "a+bi", onde "a" e "b" são números reais, e o "i" representa a raiz quadrada de -1. O "a" é denominado a parte real do número complexo e a quantidade "ib" representa a parte imaginária o número complexo. O mesmo número complexo com a parte imaginária com sinal contrário (no lugar de ib, -ib) se diz que é o complexo conjugado do número anterior.
          Existe outra expressão matemática para designar um número complexo, que recebe o nome de "fator"; não entraremos em detalhes, mas é outra forma de expressar a mesma coisa. A solução para muitas situações matemáticas pode ser encontrada com números complexos, sendo uma das mais habituais a resolução de equações de polinômios.
Mas qual é a origem destes números? 

          Os números complexos vêm sendo utilizados pelos matemáticos antes mesmo de receberem este nome e se definirem adequadamente, de modo que é difícil estabelecer como se originaram. O primeiro exemplo de problema que conduz ao que hoje conhecemos como números complexos, data dos ano 50 a.C., quando Heron de Alexandría tentava resolver a expressão [raís quadrada(81-144)], em um problema do campo da estereometría.
          A próxima referência foi encontrada na Índia, no ano 850, quando Mahavira escreveu: "...como acontece na Natureza, um número negativo não possui raís quadrada". Em 1545 Girolamo Cardano deu a estes números o nome de "fictícios". Também em 1545, Cardano investigava sobre a obtenção de raízes de polinômios e os classificou segundo seu comportamento.
          Foi finalmente Rene Descartes que deu a designação de "parte real" e "parte imaginária". Em 1702 Gottfried Wilhem von Leibniz descreveu os números complexos como "...a maravilhosa criatura de um trabalho imaginário, quase um anfíbio entre as coisas que são coisas e as coisas que não são". Mais tarde, Euler em 1777 introduziu a notação "i" e "-i" para distinguir as duas raízes quadradas de -1, e chamou estas quantidades de "imaginárias". Também estendeu as funções de tipo exponencial, introduzindo nelas um argumento complexo. Em 1797 Wessel e posteriormente Gauss em 1799 deram uma interpretação geométrica aos números complexos, contribuindo com isto para clarear sua interpretação.
          Finalmente, em 1833 Hamilton propôs a expressão matemática dos números complexos como "a + ib" com "a" e "b" reais, recuperando os termos introduzidos por Descartes de "parte real" e "parte imaginária". Considera-se que este seja o marco de início da moderna formulação dos números complexos.

Em 30/07/2012

terça-feira, 3 de julho de 2012

TRABALHO DE ESTATÍSTICA

ORIENTAÇÕES PARA O TRABALHO DE ESTATÍSTICA






Trabalhos de Estatística  3002 e 3004/ 2012

TEMAS
Meio ambiente
Pesquisa com os dados estatísticos mais recentes sobre o meio ambiente.

Política (candidatos  e eleições 2012)
Fazer uma pesquisa, por amostragem, sobre a intenção de votos para prefeito na nossa comunidade escolar, com gráficos e tabelas.  

Campeonato de Futebol Brasileiro (1ª divisão)
Os principais dados do campeonato brasileiro 2012, com gráficos e tabelas. (ex. média de gols por partida, total de pontos, qual o número de pontos um time deve fazer para se manter na primeira divisão, os dados dos times do Rio de Janeiro, etc.)

Olimpíadas Londres 2012
Quantidade de estádios onde os jogos estão sendo realizados, Capacidade total dos estádios, Capacidade do estádio olímpico, Área total do parque olímpico, Contingente(incluindo voluntários e contratados), Custo dos jogos para os londrinos, Audiência mundial na cerimônia de abertura, etc (tudo com tabelas e gráficos).

Profissões e/ou mercado de trabalho
Quais as profissões mais desejadas pelos estudantes atualmente? Que  outros cursos deveriam ser implantados em nosso município? Quais os cursos que os alunos pretendem fazer após concluir o Ensino Médio?   

Uso dos celulares pelos jovens
A necessidade do uso do celular nos dias de hoje, uso do celular  durante as  aulas, etc

Olimpíadas do Rio 2016 (No Rio vamos trabalhar com previsão)
Quantidade de estádios onde os jogos serão realizados, Capacidade total dos estádios, Capacidade do estádio olímpico, Área total do parque olímpico, Pessoal envolvido na construção, Investimentos na cidade para realização dos jogos, Contingente(incluindo voluntários e contratados), Custo dos jogos para os cariocas, Audiência mundial na cerimônia de abertura, etc (tudo com tabelas e gráficos).



terça-feira, 17 de abril de 2012

Paulo Freire

"A Educação qualquer que seja ela, é sempre uma teoria do conhecimento posta em prática."
Paulo Freire

quarta-feira, 21 de março de 2012

CONJUNTOS NUMÉRICOS

          Todos os números que conhecemos podem ser divididos em grupos segundo características comuns entre eles, isto é, os números estão agrupados em conjuntos - os conjuntos numéricos.

          O conjunto mais simples, e o primeiro com o qual temos contato, é o conjunto dos números naturais. Ele é formado por números inteiros e positivos, mais o zero. Assim, a partir do zero, e "andando" de uma em uma unidade, infinitamente, temos os números naturais.

Representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

          Muita gente acharia a Matemática bem menos complicada se existissem só esses números!

          Porém, esse conjunto é limitado para algumas coisas, isto é, existem alguns problemas que ele não "consegue resolver". Tente, por exemplo, achar um sucessor e um antecessor natural para cada um desses números. O zero não tem antecessor natural! Outra coisa: é sempre possível subtrair dois números naturais e achar outro número natural? A resposta é "não". Basta tentar fazer 3 - 4. Assim, é necessário utilizar outros números. Em nosso cotidiano, outras quantidades aparecem e precisam ser representadas, como um saldo negativo no banco ou uma variação negativa de temperatura.

         O conjunto que soluciona esses problemas é o dos números inteiros. Ele é formado pelos inteiros negativos, positivos e o zero. Continua "andando" de uma em uma unidade, mas agora todos os seus componentes têm sucessor e antecessor, e é possível fazer qualquer subtração entre eles, pois o resultado será sempre inteiro.

Representação: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 

          No entanto, como o conjunto dos números naturais, ele tem os seus "probleminhas". Não é possível sempre dividir um número inteiro por outro e o resultado ser inteiro. Se tentarmos dividir 3 por 2, por exemplo, o resultado não será exato, não será inteiro. Logo, esse conjunto não serve ainda para representar todas as quantidades existentes. Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado só com números inteiros. A simples quantia de R$ 1,50 não é um número inteiro.

          É necessário, então, outro conjunto: o dos números racionais. Esses números são os resultados de divisões exatas e inexatas, ou seja, estão incluídos os números inteiros, os decimais, as frações, as dízimas periódicas e pode ser definido como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração.

Representação: =
Exemplos de números racionais: 0; 1,23; 0, 3333...; œ; -4; 13; etc.

          Os matemáticos de antigamente chegaram a aceitar que esses números fossem perfeitos, que não houvesse nenhum problema sem solução para eles. Mas foram surpreendidos com o seguinte questionamento: qual é a medida da diagonal do quadrado de lado 1?

          A diagonal e os lados do quadrado formam um triângulo retângulo, no qual é possível aplicar o teorema de Pitágoras:

          A pergunta aqui, na verdade é: qual é o número racional que, elevado ao quadrado, resulta em 2? A resposta é: não existe número racional que, elevado ao quadrado, resulte em 2, nem em 3, nem em 5 e muitos outros.

          O número que soluciona esse problema é a raiz quadrada de dois. Esse número não é racional, pois possui infinitas casas decimais, as quais não constituem uma dízima, logo não pode ser escrito na forma de fração.
          Surge, então, um novo conjunto - o dos números irracionais. Esse conjunto é constituído, basicamente, pelas raízes não-exatas, mas seu mais famoso integrante é o número , seguido do número e.

          Assim, os números que fazem parte do conjunto dos números irracionais não podem ser escritos na forma de fração, logo não são racionais, ao contrário dos conjuntos anteriores, pois os naturais estão contidos nos inteiros - e esses, por sua vez, estão contidos nos racionais.

          A união dos irracionais com os racionais forma o conjunto dos números reais (R) , os quais resolvem quase todo tipo de problema. Isso mesmo: quase todos os problemas. Na 3ª série do Ensino Médio estudaremos o Conjunto dos números complexos (C).
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Página 3

É importante notar a representação dos irracionais, cuja forma mais correta é R - Q, ou seja, os reais menos os racionais.

VÍDEO - CONJUNTOS NUMÉRICOS

http://www.youtube.com/watch?v=ooZatdw2DY4&noredirect=1

A MAGIA DOS NÚMEROS


                   Antes mesmo do surgimento dos números, os povos se utilizavam de símbolos como ferramentas auxiliares em processos envolvendo contagem. Os vários povos que constituíram civilizações no decorrer da história buscavam desenvolver técnicas matemáticas capazes de solucionar problemas cotidianos. Entre os povos podemos citar: maias, incas, astecas, sumérios, egípcios, gregos, chineses, romanos, povos da região mesopotâmica, entre outros. 
          Dentre os estudos surgiram sistemas de numeração, técnicas de contagem, símbolos numéricos, calendários baseados no sistema solar, objetos de contagem como o ábaco, posicionamento numérico e diversas outras descobertas. Os cálculos matemáticos e os mistérios da natureza sempre fascinaram o homem, que buscou e ainda busca nos números, desvendar determinadas situações. O surgimento do sistema de numeração indo-arábico facilitou o crescimento da Matemática e de outras ciências, pois a base decimal facilitava os cálculos numéricos objetivando respostas a algumas situações consideradas incógnitas. 
          Nos séculos seguintes, a introdução do sistema de base decimal na Europa pelos árabes e os grandes gênios da Matemática despertaram suas habilidades intelectuais para o desenvolvimento de novas técnicas. O surgimento de importantes relações caracterizadas por números constantes como o π (pi) e o Ф (número de ouro) constituíram importantes passos para a ciência dos números. Os mistérios da natureza começavam a ser desvendados.
          Os números constituem o alicerce da Matemática, pois sem estes, ela não teria evoluído como evoluiu. Até hoje, os números intrigam as pessoas ligadas à área de exatas através de situações que conduzem a resultados fascinantes. A criatividade e a habilidade em manobrar os números, levam a um mundo cheio de mistérios e segredos.
       
       1X8+1=9
     12X8+2=98
   123X8+3=987
 1234X8+4=9876
12345X8+5=98765
. . .

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/a-magia-dos-numeros.htm

segunda-feira, 5 de março de 2012

DESAFIOS MATEMÁTICOS

http://www.profcardy.com/desafios/aplicativos.php?id=24

IMAGENS


VEJA ESTE VÍDEO

 http://olhardigital.uol.com.br/produtos/central_de_videos/voce-e-um-numero

VOCÊ É UM NÚMERO



        Se você não tomar cuidado vira um número até para si mesmo. Porque a partir do instante em que você nasce classificam-no com um número. Sua identidade no Félix Pacheco é um número. O registro civil é um número. Seu título de eleitor é um número. Profissionalmente falando você também é. Para ser motorista, tem carteira com número, e chapa de carro. No Imposto de Renda, o contribuinte é identificado com um número. Seu prédio, seu telefone, seu número de apartamento - Tudo é número.
          Se é dos que abrem crediário, para eles você também é um número. Se tem propriedades, também. Se é sócio de um clube tem um número. Se é imortal da Academia Brasileira de Letras tem número da cadeira.É por isso que vou tomar aulas particulares de Matemática. Preciso saber das coisas. Ou aulas e Física. Não estou brincando: vou mesmo tomar aulas de Matemática, preciso saber alguma coisa sobre cálculo integral.
        Se você é comerciante, seu alvará de Localização o classifica também.
        Se é contribuinte de qualquer obra de beneficência também é solicitado por um número. Se faz viagem de passeio ou de turismo ou de negócio recebe um número. Para tomar um avião, dão-lhe um número. Se possui ações também recebe um, como acionista de uma companhia. É claro que você é um número no recenseamento. Se é católico recebe um número de batismo. No Registro civil ou religioso você é numerado. Se possui personalidade jurídica tem. E quando a gente morre, no jazigo, tem um número. E a certidão de óbito também.
        Nós não somos ninguém? Protesto. Aliás é inútil o protesto. E vai ver meu protesto também é número.
A minha amiga contou que no Alto do Sertão de Pernambuco uma mulher estava com o filho doente, desidratado, foi ao Posto de Saúde. E recebeu a ficha com o número 10. Mas dentro do horário previsto pelo médico a criança não pode ser atendida porque só atenderam até o número 9. A criança morreu por causa de um número. Nós somos culpados.
Se há uma guerra, você é classificado por um número. Numa pulseira com placa metálica, se não me engano. Ou numa corrente de pescoço, metálica.
E Deus não é número.
[...]


sexta-feira, 2 de março de 2012

CURIOSIDADES SOBRE O ANO BISSEXTO



ANO BISSEXTO: VOCÊ SABE O QUE É ISSO?

          De tempos em tempos, o calendário tem um dia a mais: o 29 de fevereiro. Esses anos mais longos são chamados bissextos. Por que isso acontece?
O calendário que usamos (gregoriano), de 365 dias de 24 horas, tem uma pequena diferença em relação ao tempo que a Terra leva para contornar o sol. O ciclo solar, ou ano trópico, é definido como o intervalo entre o início de duas primaveras consecutivas no hemisfério Norte – indicando um ciclo completo da Terra em torno do sol. Esse período é de 365 dias e aproximadamente 6 horas (na verdade, são 5 horas, 48 minutos, 45 segundos e 216 milésimos de segundo).
A cada 4 anos, a diferença de horas entre o ano solar e o do calendário convencional completa cerca de 24 horas (mais exatamente: 23 horas, 15 minutos e 864 milésimos de segundo). Para compensar essa diferença e evitar um descompasso em relação às estações do ano, insere-se um dia extra na folhinha e fevereiro fica com 29 dias. Essa correção é especialmente importante para atividades atreladas às estações, como a agricultura e até mesmo as festas religiosas.

Como surgiu o ano bissexto?
A descoberta da necessidade dos anos bissextos aconteceu há muito tempo. “Há notícias de dias acrescentados no calendário com esse objetivo desde 324 a.C.”, conta Roberto Boczko, professor de astronomia do Instituto de Astronomia e Geologia (IAG) da Universidade de São Paulo (USP).
Os homens inventaram os primeiros calendários para conseguir se planejar em relação às estações, por causa da agricultura (a maioria das plantas completa seu ciclo nesse período) e das dificuldades climáticas (como invernos rigorosos). Apesar das inúmeras tentativas, descobriu-se que é muito difícil estabelecer um calendário que tenha total harmonia com o ciclo solar.
As diversas tentativas de equiparar os calendários ao ano trópico eram desordenadas e faziam com que alguns anos fosse muito maiores que outros. Em 46 a.C., havia uma defasagem de 90 dias entre o calendário da época e o início da primavera. Naquele ano, as festas romanas em comemoração à estação mais florida do ano, marcadas para março (que era o primeiro mês do ano), caíram em pleno inverno.
O então imperador romano Júlio César resolveu acertar o relógio. Para resolver os atrasos anteriores, ele esticou aquele ano para 445 dias. A partir dali, instituiu a regra de intercalar, periodicamente, um ano com 1 dia a mais, por sugestão do astrônomo Sofígenes. Ficou combinado que, depois de 3 anos de 365 dias, viria um de 366 dias.
Mas, por confusão ou dificuldade, a regra foi cumprida de maneira diferente: os anos bissextos aconteciam depois de dois anos comuns (um ciclo de apenas 3 anos, e não 4, como quis Júlio César). O erro foi percebido em 10 a.C. e, para compensar, os anos bissextos foram suspensos até 8 d.C. A partir daí, o imperador César Augusto fez com que a regra de Júlio César fosse seguida sistematicamente: três anos comuns, um ano bissexto. Durante séculos a solução juliana resolveu o problema. Mas, no longo prazo, ela mostrou que não era suficiente para garantir a sincronia entre ano solar e calendário e demandou uma nova mudança.
Em 325 d.C., a Igreja Católica decidiu que o início da primavera deveria cair no dia 21 de março, para que combinasse com suas comemorações religiosas. Em 1582, esse dia caiu 10 dias depois do início da estação. O papa Gregório 13 resolveu a questão fazendo com que, em outubro, a contagem de dias pulasse 10 dias. As pessoas foram dormir na quinta-feira dia 4 e acordaram na sexta-feira no dia 15. Além desse acerto forçado (que fez com que a primavera começasse no dia 21 de março do ano seguinte, como a Igreja queria), Gregório 13 propôs um cálculo mais complexo, porém, mais certeiro para os anos bissextos.
Aceitando a sugestão do matemático Cristhovan Clavius, Gregório 13 decidiu que o cálculo passaria a ser o seguinte: continua a valer a regra de um bissexto a cada quatro anos, exceto para os anos que terminam em zero duplo (00). Estes só seriam bissextos uma vez a cada 400 anos.