O que são números imaginários e para que
são usados?
Os números imaginários ou complexos
são uma das tantas abstrações matemáticas que facilitam o cálculo e a resolução
de muitos problemas. Em vários campos científicos e técnicos são utilizados
durante o desenrolar de um problema e quando se querem extrair dados concretos
para aplicar na realidade, quando se transpõe o resultado em número complexo
para o resultado em número real, que é o que podemos "medir" (não
podemos medir com um instrumento físico um número complexo).
Na realidade, todo número complexo
está composto de duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. Quando
queremos extrair um resultado para aplicá-lo a nossas medições no mundo físico,
usamos só a parte real do número complexo. Com tudo isto, podemos ver que os
números complexos constituem uma estrutura algébrica que engloba a estrutura
dos números reais.
Se entrarmos em detalhes algébricos,
sabemos que existem várias classes de números, que de forma muito simples
podemos descrever como:
Os
números naturais. São eles 1,2,3,4, etc..., onde cada um é obtido somando uma
unidade à anterior.
Os números inteiros. Incluem números inteiros positivos e números
inteiros negativos: -1, -2, -3, etc...
Os números negativos. Foram introduzidos na Idade Média para poder
resolver problemas como 3 - 5.
Antigamente,
parecia impossível retirar cinco maças de três maçãs, mas os banqueiros
medievais tinham uma idéia muito clara de dívida: "você me pede cinco
maças e depois me paga três, de forma que fica me devendo duas", que é
como dizer (+3) - (+5).
Os
números racionais São razões entre números inteiros: 3/4, -2/5, etc...
Números irracionais São todos aqueles números que não podemos
expressar como frações entre números inteiros, como por exemplo o número
"pi" (3,141592...). Em contrapartida podemos por como fração o número
0,25, que seria 1/4.
Números reais.Incluem os números racionais e irracionais.
O próximo passo nesta escala seria o
dos números complexos. Uma das formas matemáticas na qual se expressa um número
imaginário é na fórmula "a+bi", onde "a" e "b"
são números reais, e o "i" representa a raiz quadrada de -1. O
"a" é denominado a parte real do número complexo e a quantidade
"ib" representa a parte imaginária o número complexo. O mesmo número
complexo com a parte imaginária com sinal contrário (no lugar de ib, -ib) se
diz que é o complexo conjugado do número anterior.
Existe outra expressão matemática para
designar um número complexo, que recebe o nome de "fator"; não
entraremos em detalhes, mas é outra forma de expressar a mesma coisa. A solução
para muitas situações matemáticas pode ser encontrada com números complexos,
sendo uma das mais habituais a resolução de equações de polinômios.
Mas qual é a origem destes números?
Os números complexos vêm sendo utilizados pelos matemáticos antes mesmo de receberem este nome e se definirem adequadamente, de modo que é difícil estabelecer como se originaram. O primeiro exemplo de problema que conduz ao que hoje conhecemos como números complexos, data dos ano 50 a.C., quando Heron de Alexandría tentava resolver a expressão [raís quadrada(81-144)], em um problema do campo da estereometría.
A próxima referência foi encontrada
na Índia, no ano 850, quando Mahavira escreveu: "...como acontece na
Natureza, um número negativo não possui raís quadrada". Em 1545 Girolamo
Cardano deu a estes números o nome de "fictícios". Também em 1545,
Cardano investigava sobre a obtenção de raízes de polinômios e os classificou
segundo seu comportamento.
Foi finalmente Rene Descartes que deu
a designação de "parte real" e "parte imaginária". Em 1702
Gottfried Wilhem von Leibniz descreveu os números complexos como "...a
maravilhosa criatura de um trabalho imaginário, quase um anfíbio entre as
coisas que são coisas e as coisas que não são". Mais tarde, Euler em 1777
introduziu a notação "i" e "-i" para distinguir as duas
raízes quadradas de -1, e chamou estas quantidades de "imaginárias".
Também estendeu as funções de tipo exponencial, introduzindo nelas um argumento
complexo. Em 1797 Wessel e posteriormente Gauss em 1799 deram uma interpretação
geométrica aos números complexos, contribuindo com isto para clarear sua
interpretação.
Finalmente, em 1833 Hamilton propôs a
expressão matemática dos números complexos como "a + ib" com
"a" e "b" reais, recuperando os termos introduzidos por
Descartes de "parte real" e "parte imaginária".
Considera-se que este seja o marco de início da moderna formulação dos números
complexos.
Em 30/07/2012
